二、插板法
一般解决相同元素分配问题,而且对被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零),只对分成的份数有要求。
【例题2】把20台电脑分给18个村,要求每村至少分一台,共有多少种分配方法?
A.190
B.171
C.153
D.19
【答案】B。
【解析】此题的想法即是插板思想:在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板,这样即把其分成18份,那么共有: C(19,17)=C(19,2)=171 种。
三、特殊位置和特殊元素优先法
对有限制的排列组合问题中的特殊元素或特殊位置优先考虑。百考试题-全国最大教育类网站(100test.com)
【例题2】从6名运动员中选4人参加4×100米接力,甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案各有多少种?
A.120
B.240
C.180
D.60
【答案】B。
【解析】方法一:特殊位置优先法:首先填充第一棒,第一棒共有5个元素可供选择,其次第4棒则有4个元素可以选择.然后第2棒则有4个元素可以选择,第3棒则有3个元素可以选择。则共有5×4×4×3=240种。
方法二:特殊元素优先法:首先考虑甲元素的位置
第一类,甲不参赛有A(5,4)=120种排法.
第二类,甲参赛,因只有两个位置可供选择,故有2种排法.其余5人占3个位置有A(5,3)=60种占法,故有2×60=120种方案。
所以有120 120=240种参赛方案。 四、逆向考虑法
对于直接从正面算比较复杂的排列、组合题,我们就要学会间接的方法。
正方体8个顶点中取出4个,可组成多少个四面体?
A.70
B.64
C.61
D.58
【答案】D。
【解析】所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数,共C(8,4)-12=70-12=58个。
五、分类法
解含有约束条件的排列组合问题,应按元素性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。
【例题3】五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法有
A.120种
B.96种
C.78种
D.72种
【答案】C。
【解析】由题意可先安排甲,并按其分类讨论:1)若甲在末尾,剩下四人可自由排,有A (4,4)=24种排法.2)若甲在第二,三,四位上,则有3×3×3×2×1=54种排法,由分类计数原理,排法共有24 54=78种,选C。
专家点评:解排列与组合并存的问题时,一般采用先选(组合)后排(排列)的方法解答。解决一道排列、组合提的方法很多,但我们必须选择一种最快做有效的解题方法。这就要求我们准确掌握各种解题方法,能迅速的判断出哪种方法最适合解答该题。
下面我们为考生准备5道习题,请考生们注意选择最合适的解题方法。
1、丙丁四个人站成一排,已知:甲不站在第一位,乙不站在第二位,丙不站在第三位,丁不站在第四位,则所有可能的站法数为多少种?
A.6
B.12
C.9
D.24
2、马路上有编号为l,2,3,……,10 十个路灯,为节约用电又看清路面,可以把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,在两端的灯也不能关掉的情况下,求满足条件的关灯方法共有多少种?
A.60
B.20
C.36
D.45
3、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,可组成多少个不同的四位数?
A .300
B.360
C.120
D.240
4、10个名额分配到八个班,每班至少一个名额,问有多少种不同的分配方法?
A.45
B.36
C.9
D.30
5、六人站成一排,求甲不在排头,乙不在排尾的排列数?
A.120
B.64
C.124
D.136
1、【解答】C。能站在第一位,因此甲必然站在后三个位置中的某一个位置。
如果甲站在第二位,则共有三种可能:乙甲丁丙,丙甲丁乙,丁甲丙乙
如果甲站在第三位,则共有三种可能,乙丁甲丙,丙丁甲乙,丁丙甲乙
如果甲站在第四位,则共有三种可能,乙丙丁甲,丙丁乙甲,丁丙乙甲
因此一共有9种可能
2、【解答】B。关掉的灯不能相邻,也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别,因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。所以共C(6,3)=20种方法。
3、【解答】A。排除法解P(6,4)-P(5,3)个=300个
4、【解答】B。把10个名额看成十个元素,在这十个元素之间形成的九个空中,选出七个位置放置档板,则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共C(9,7)=36种。
5、【解答】D。先考虑排头,排尾,但这两个要求相互有影响,因而考虑分类。
第一类:乙在排头,有A(5,5)种站法。
第二类:乙不在排头,当然他也不能在排尾,有C(4,1)×(4,1)×(4,4)种站法,故共有136种站法。