文章作者 100test 发表时间 2009:07:07 21:52:06
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A1-001 假设n是自然数,d是2n2的正约数.证明:n2+d不是完全平方.
【题说】 1953年匈牙利数学奥林匹克题2.
【证】 设2n2=kd,k是正整数,如果 n2+d是整数 x的平方,那么
k2x2=k2(n2+d)=n2(k2+2k)
但这是不可能的,因为k2x2与n2都是完全平方,而由k2<k2+2k<(k+1)2得出k2+2k不是平方数.
A1-002试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数.
【题说】 1962年上海市赛高三决赛题 1.
【证】 四个连续自然数的乘积可以表示成
n(n+1)(n+2)(n+3)=(n2+3n)(n2+8n+2)
=(n2+3n+1)2-1
因此,四个连续自然数乘积加上1,是一完全平方数,故知本题结论成立.
A1-003已知各项均为正整数的算术级数,其中一项是完全平方数,证明:此级数一定含有无穷多个完全平方数.
【题说】 1963年全俄数学奥林匹克十年级题2.算术级数有无穷多项.
【证】 设此算术级数公差是 d,且其中一项 a=m2(m∈N).于是
a+(2km+dk2)d=(m+kd)2
对于任何k∈N,都是该算术级数中的项,且又是完全平方数.
A1-004 求一个最大的完全平方数,在划掉它的最后两位数后,仍得到一个完全平方数(假定划掉的两个数字中的一个非零).
【题说】 1964年全俄数学奥林匹克十一年级题 1.
【解】 设 n2满足条件,令n2=100a2+b,其中 0<b<100.于是 n>10a,即 n≥10a+1.因此
b=n2100a2≥20a+1
由此得 20a+1<100,所以a≤4.
经验算,仅当a=4时,n=41满足条件.若n>41则n2-402≥422-402>100.因此,满足本题条件的最大的完全平方数为412=1681.
A1-005 求所有的素数p,使4p2+1和6p2+1也是素数.
【题说】 1964年~1965年波兰数学奥林匹克二试题 1.
【解】 当p≡±1(mod 5)时,5|4p2+1.当p≡±2(mod 5)时,5|6p2+1.所以本题只有一个解p=5.
A1-006证明存在无限多个自然数a有下列性质:对任何自然数n,z=n4+a都不是素数.
【题说】 第十一届(1969年)国际数学奥林匹克题1,本题由原民主德国提供.
【证】 对任意整数m>1及自然数n,有
n4+4m4=(n2+2m2)2-4m2n2
=(n2+2mn+2m2)(n2-2mn+2m2)
而 n2+2mn+2m2>n2-2mn+2m2
=(n-m)2+m2≥m2>1
故 n4+4m4不是素数.取 a=4·24,4·34,…就得到无限多个符合要求的 a.