整数问题:特殊的自然数之二初中升学考试
文章作者 100test 发表时间 2009:01:02 09:08:31
来源 100Test.Com百考试题网
A1-008 n为怎样的自然数时,数
32n+1-22n+1-6n
是合数?
【题说】 第二十四届(1990年)全苏数学奥林匹克十一年级题5
【解】 32n+1-22n+1-6n=(3n-2n)(3n+1+2n+1)
当 n>l时,3n-2n>1,3n+1+2n+1>1,所以原数是合数.当 n=1时,原数是素数13.
A1-009设n是大于6的整数,且a1、a2、…、ak是所有小于n且与n互素的自然数,如果
a2-a1=a3-a2=…=ak-ak-1>0
求证:n或是素数或是2的某个正整数次方.
【题说】 第三十二届(1991年)国际数学奥林匹克题2.本题由罗马尼亚提供.
【证】 显然a1=1.
由(n-1,n)=1,得 ak=n-1.
令 d=a2-a1>0.
当a2=2时,d=1,从而k=n-1,n与所有小于n的自然数互素.由此可知n是素数.
当a2=3时,d=2,从而n与所有小于n的奇数互素.故n是2的某个正整数次方.
设a2>3.a2是不能整除n的最小素数,所以2|n,3|n.由于n-1=ak=1+(k-1)d,所以3 d.又1+d=a2,于是3 1+d.由此可知3|1+2d.若1+2d<n,则a3=1+2d,这时3|(a3,n).矛盾.若1+2d≥n,则小于n且与n互素自然数的个数为2.
设n=2m(>6).若m为偶数,则m+1与n互质,若m为奇数,则m+2与m互质.即除去n-1与1外、还有小于n且与n互质的数.矛盾.
综上所述,可知n或是素数或是2的某个正整数次方.
A1-010 试确定具有下述性质的最大正整数A:把从1001至2000所有正整数任作一个排列,都可从其中找出连续的10项,使这10项之和大于或等于A.
【题说】 第一届(1992年)中国台北数学奥林匹克题6.
【解】 设任一排列,总和都是1001+1002+…+2000=1500500,将它分为100段,每段10项,至少有一段的和≥15005,所以
A≥15005
另一方面,将1001~2000排列如下:
2000 1001 1900 1101 1800
1201 1700 1301 1600 1401
1999 1002 1899 1102 1799
1202 1699 1302 1599 1402
… … … … … …
1901 1100 1801 1200 1701
1300 1601 1400 1501 1300
并记上述排列为
a1,a2,…,a2000
(表中第i行第j列的数是这个数列的第10(i-1)+j项,1≤i≤20,1≤j≤10)
令 Si=ai+ai+1+…+ai+9(i=1,2,…,1901)
则S1=15005,S2=15004.易知若i为奇数,则Si=15005;若i为偶数,则Si=15004.
综上所述A=15005.